Right click to open menu




Содержание - Mobile content - Medical essay - Natural sciences - Exact sciences - Economics

 

 Теория устойчивости

Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

 

 

 

 

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

(1)



с начальными условиями x ( t 0 ) = x 0 (2)


где x = ( x 1 , x 2 , ... , x n ) - n - мерный вектор; t О I = [t 0 , + Ґ [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;






f ( t, x ) = ( f 1 ( t , x ) , f 2 ( t , x ) , ... , f n ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t 0 ) = x 0 . С целью упрощения все рисунки п. 1 0 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.


Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве R n+1 (рис.1)


Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t 0 , x 0 ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные


данные ( t 0 , x 0 ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим




образом: x ( t ) =


x ( t ; t 0 , x 0 ). Изменение этого решения в данной


математической модели с изменением начальных данных ( t 0 , x 0 )



приводят к существенному изменению решения x ( t ; t 0 , x 0 ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку


начальные данные ( t 0 , x 0 ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.





Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) =


x ( t ; t 0 , x 0 ) , вызванное отклонением D x 0 начального значения x 0 , будем записывать следующим образом:










| x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ) | = | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ; t 0 , x 0 ) |.









Определение 1. Решение x ( t ) =


x ( t ; t 0 , x 0 ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x 0 на интервале I = = [ t 0 , + Ґ [ , т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x 0


| D x 0 | Ј d Ю | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ) | Ј e " t і t 0 .

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + Ґ для достаточно малых D x 0 , т.е. $ D > 0 " D x 0 .







| D x 0 | Ј D Ю | x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) - x ( t ) | ® 0 , t ® + Ґ . (3)


то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.






Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t 0 , x 0 + D x 0 ) , близкие в начальный момент t 0 к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t і t 0 .






2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x 1 ( t ) , начинающееся в момент t 0 в D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x 2 ( t ), начинающееся при t = t 0 за пределами области притяжения, но в пределах d - трубки, не покидает e - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).



Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t 0 , x 0 ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.


Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t 0 к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t 1 ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.


x

 

 

 

 

 

 

 

0 t

Рис.3 Рис.4







Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему


y’ = F ( t, y ). (4)











где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) є 0 " t і t 0 .




Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) є 0 системы (4).






В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 " t і t 0 , и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1).



Определение 3. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если " e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что " x 0

| D x 0 | Ј d Ю | x ( t ; t 0 , x 0 ) | Ј e " t і t 0 .

Если кроме того,





$


D > 0 " x 0 | D x 0 | Ј D Ю | x ( t ; t 0 , x 0 ) | ® 0 , t ® + Ґ ,



то решение x ( t ) є 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .





Определение 4. Нулевое решение x ( t ) є 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.



$ e > 0 $ t 1 > t 0 " d > 0 x 0 0 | x 0 | Ј d Ю | x ( t ; t 0 , x 0 ) | > e .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) є 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :




dx / dt = f ( x ). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.





Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая g , которую можно параметрически задать в виде x i = x i ( t ) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство R n с координатами ( x 1 , ... , x n ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x 1 = x 1 ( t ), ... , x n = x n ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству R n+1 с координатами ( t , x 1 , x 2 , ... , x n ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство R n параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда R n+1 - трехмерное пространство, а фазовое пространство R n - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x 1 = x 1 ( t ) , x 2 = x 2 ( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x 1 = x 1 ( t ) , x 2 = x 2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.






Определение 5. Точка ( a 1 , a 2 , ... , a n ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f 1 , f 2 , ... , f n системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где a = ( a 1 , a 2 , ... , a n ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .








Если ( a 1 , ... , a n ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) є 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства R n . В пространстве R n+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.



Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R 2 , причем проекциями e - трубки и d - трубки являются окружности с радиусами e и d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d - окружности, не покидают e - окружность " t і t 0 (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой e - окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).



Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A - постоянная матрица размера n ґ n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

ж dx / dt = P ( x , y ),

н (A)

о dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x 0 , y 0 ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x 0 , y 0 ) = 0 , Q ( x 0 , y 0 ) = 0.

Рассмотрим систему

ж dx / dt = a 11 x + a 12 y,

н (7)

о dy / dt = a 21 x + a 22 y.

где a ij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

x = a 1 e k t , y = a 2 e k t . (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

a 11 - k a 12

= 0. (9)

a 21 a 22 - k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k 1 < 0, k 2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k 1 > 0, k 2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k 1 > 0, k 2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k 1 = 0, k 2 > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k 1 = 0, k 2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные : k 1 = p + q i, k 2 = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные : k 1 = k 2 . Подслучаи :

1) k 1 = k 2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k 1 = k 2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k 1 = k 2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

dx i n


= е a i j x j ( i = 1 , 2 , ... , n ) (10)

dt i=1

характеристическим уравнением будет

a 11 - k a 12 a 13 ... a 1n

a 21 a 22 - k a 23 ... a 2n = 0. (11)

. . . . . . . .

a n1 a n2 a n3 ... a nn - k

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x i ( t ) є 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя x i ( t ) є 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x i ( t ) є 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами

.

ж x = a 11 x + a 12 y,

н . (12)

о y = a 21 x + a 22 y

характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k 2 + a 1 k + a 2 = 0.

1) Если a 1 > 0 , a 2 > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а 1 > 0 , a 2 = 0, или a 1 = 0 , a 2 > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a 1 = a 2 = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

D ( l ) = l n + a 1 l n-1 + a 2 l n-2 + ... + a n = 0. (13)

Зная его корни l 1 , l 2 , ... , l n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

D ( l ) = ( l - l 1 ) ( l - l 2 ) ... ( l - l n ). (14)

Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а - для двух корней l и l i ;

б - для четырех корней l 1 , l 1 , l 2 , l 2

 

Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( l - l i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что l = j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от - Ґ до + Ґ векторы j w - l 1 и j w - l 1 комплексных корней l и l 1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w - l 2 и j w - l 2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p . Таким образом, приращение аргумента arg( j w - l i ) для корня характеристического уравнения l i , находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p . Приращение результирующего аргумента D arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

D arg D( j w ) = ( n - m ) p - m p = ( n - 2m ) p . (15)



- Ґ < w < Ґ для левой для правой

полуплоскости полуплоскости

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j w ) = ( j w ) n + a 1 ( j w ) n-1 + a 2 ( j w ) n-2 + ... + a n (16)

содержит лишь четные степени w , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому

arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ), (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до Ґ . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

D arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2 . (18)

0 Ј w < Ґ

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

D arg D( j w ) = n p / 2 . (19)

0 Ј w < Ґ

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.