Right click to open menu




Содержание - Mobile content - Medical essay - Natural sciences - Exact sciences - Economics

Теория случайных функций

 

Дано:

Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУ равна b.

Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром a .

Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m .

Тип резервироавния - ненагруженный.

Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n (t) = ( x (t), d (t)) с координатами, описывающими:

- функционирование элементов

x (t) О {0, 1, 2} - число неисправных элементов;

- функционирование КПУ

d (t) О {0,1} - 1, если исправен, 0 - если нет.

Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что x (t) - однородный Марковский процесс.

Определим состояние отказа системы:

Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x (t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d (t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).

Таким образом, можно построить граф состояний системы:

 

 

 

0 - состояние, при котором 0 неисправных элементов,
т.е. состояние
n (t) = (0, d (t))

1 - состояние, при котором 1 неисправный элемент,
т.е. состояние
n (t) = (1, 1)

П - состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
т.е. композиция состояний
n (t) = (1, 1), n (t) =(2, 0) - поглощающее состояние.

Найдем интенсивности переходов.

Так как выход из строя каждого из элементов - события независимые, то получим:

вероятность выхода из строя элемента: 1-exp(-5 a h) = 5 a h + o(h)

вероятность восстановления элемента: 1-exp(- m h) = m h + o(h)

Ю

Пусть

Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

Пусть ,

т.е. применим преобразование Лапласа к .

Т.к. , то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

Ю

Ю

( - корни =0)

Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций :

Ю

Ю

Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:

,

где

,

Итак,

,
где

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т.е. M T
(T - время жизни системы):

Ю